Рубрика: Հանրահաշիվ 9

1)Գտնել 22; 18… թվաբանական պրոգրեսիայի դրական անդամների քանակը:

Պատասխան՝ 6

2){b_n} երկրաչափական պրոգրեսիայում b₅ = 7, գտնել b₁ * b₉, արտադրյալը:

Պատասխան՝ 49

3)Գտնել 27; 24… թվաբանական պրոգրեսիայի դրական անդամների քանակը:

Պատասխան՝ 10

4){b_n} երկրաչափական պրոգրեսիայում b₄ = 6, գտնել b₁ * b₇, արտադրյալը:

Պատասխան՝ 36

5)Գտնել -17; -14… թվաբանական պրոգրեսիայի բացասական անդամների քանակը:

Պատասխան՝ 6

6)Գտնել x-ը, եթե x; -6; 6 թվերը կազմում են երկրաչափական պրոգրեսիա:

Պատասխան՝ 6

7)Թվաբանական պրոգրեսիայում a₂ = — 2 , իսկ a₆ = 12 : Գտնել a₁— ը:

Պատասխան՝ -5.5

8)Գտնել x-ը, եթե x; -4; 4 թվերը կազմում են երկրաչափական պրոգրեսիա:

Պատասխան՝ 4

9)Թվաբանական պրոգրեսիայում a₃ = 3 , իսկ a₆ = 15 : Գտնել a₁-ը:

Պատասխան՝ -5

10){b_n} երկրաչափական պրոգրեսիայում b₁ = — 2 q = 3 : Գտնել S₅-ը:

Պատասխան՝ -242

Առաջադրանքներ․

1)Պարզեք` հավասարումն արմատներ ունի՞ (եթե ունի, գտեք նրանց գումարը և արտադրյալը).
ա) x² — x + 1 = 0
բ) x² + x + 3 = 0
գ) x² + 3x — 2 = 0 
դ) x² — 3x + 2 = 0

Պատասխան՝

ա) իրական արմատներ չունի

բ) իրական արմատներ չունի

գ) գումար՝ -3, արտադրյալ՝ -2

դ) գումար՝ 3, արտադրյալ՝ 2

2)Առանց լուծելու հավասարումը, որոշեք նրա արմատների նշանները․
ա) x² — 7x + 12 = 0
բ) x² + 7x + 12 = 0
գ) x² + 5x — 14 = 0
դ) x² — 5x — 14 = 0

Պատասխան՝

ա) երկու դրական

բ) երկու բացասական

գ) մեկ դրական, մեկ բացասական

դ) մեկ դրական, մեկ բացասական

3)x² + 3x — 1 = 0 հավասարումն ունի երկու արմատներ x₁ և x₂ ։ Հաշվե՛ք
ա) x₁ + x₂
բ) x₁ * x₂
գ) (x₁ + x₂)²
դ) x₁² + x₂²

Պատասխան՝

ա) -3

բ) -1

գ) 9

դ) 11

1)

x=3

y=2

2)

x=1

y=6

3)

x=-1

y=-4

4)

x=3

y=2

5)

x=7

y=2

6)

x=4

y=2

7)

x=1

y=1

8)

x=5

y=1

Առաջադրանքներ․

1)Տրված է հետևյալ պարամետրական հավասարումը.
x² — 2x — a = 0
a –ի ի՞նչ արժեքի դեպքում հավասարումն ունի մեկ լուծում:
a–ի ի՞նչ արժեքի դեպքում հավասարումն ունի երկու լուծում:
a–ի ի՞նչ արժեքի դեպքում հավասարումը լուծում չունի:

Պատասխան՝

a = -1

a > -1

a < -1

2)Տրված է հետևյալ պարամետրական հավասարումը.
x² — 6x + a = 0
a-ի ի՞նչ արժեքի դեպքում հավասարումն ունի մեկ լուծում:
a-ի ի՞նչ արժեքի դեպքում հավասարումն ունի երկու լուծում:
a–ի ի՞նչ արժեքի դեպքում հավասարումը լուծում չունի:

Պատասխան՝

a = 9

a < 9

a > 9

3)Տրված է հետևյալ պարամետրական հավասարումը.
x² + ax + 1 = 0
a -ի ի՞նչ արժեքի դեպքում հավասարումն ունի մեկ լուծում:
a–ի ի՞նչ արժեքի դեպքում հավասարումն ունի երկու լուծում:
a –ի ի՞նչ արժեքի դեպքում հավասարումը լուծում չունի:

Պատասխան՝

a = 2 կամ a = -2

a < -2 կամ a > 2

-2 < a < 2

4)Տրված է հետևյալ պարամետրական հավասարումը.
x² + ax + 100 = 0
a -ի ի՞նչ արժեքի դեպքում հավասարումն ունի մեկ լուծում:
a -ի ի՞նչ արժեքի դեպքում հավասարումն ունի երկու լուծում: 
a -ի ի՞նչ արժեքի դեպքում հավասարումը լուծում չունի:

Պատասխան՝

a = 20 կամ a = -20

a < -20 կամ a > 20

-20 < a < 20

5)Տրված է հետևյալ պարամետրական հավասարումը.
x² = 4a² — 100
a –ի ի՞նչ արժեքի դեպքում հավասարումն ունի մեկ լուծում:
a–ի ի՞նչ արժեքի դեպքում հավասարումն ունի երկու լուծում:
a –ի ի՞նչ արժեքի դեպքում հավասարումը լուծում չունի:

Պատասխան՝

a = 5 կամ a = -5

a < -5 կամ a > 5

-5 < a < 5

6)Տրված է հետևյալ պարամետրական հավասարումը.
x² = a² — 1
a –ի ի՞նչ արժեքի դեպքում հավասարումն ունի մեկ լուծում:
a -ի ի՞նչ արժեքի դեպքում հավասարումն ունի երկու լուծում:
a-ի ի՞նչ արժեքի դեպքում հավասարումը լուծում չունի:

Պատասխան՝

a = 1 կամ a = -1

a < -1 կամ a > 1

-1 < a < 1

Բոլոր հավասարումները, անհավասարումները վերցված են թեստերի ժողովածուից։

Լուծե՛ք հավասարումները և անհավասարումները․

1. 3 + 2x > x + 1
2. 3(x — 0,5) > 4,5
3. 3(x+2)>2(x+9)
4. (4-x)(x+6)(x-9)>0
5. (x-4)(x+6)(x-9)≥0

6. 3x-5=9-4x
7. 3x-2(6-x)=3
8. 4x- (x-3)=9
9. 5x+1,5=10,5-2,5x
10. x-2(x-3)=1

11. x²+x-6=0
12. x²-2x-5=0, գտիր արմատների գումարը
13. x²-5x+3=0, գտիր արմատների գումարը
14. x⁴-10x²+9=0

15. Ix-2I=2
16. I2x-3I=3
17. I3x-7I>2

18. √(3x-2) ≤ 4
19. √(3x-2) < 4
20. √(x-1) ≤ 3
21. √(x-1) ≥ 3
22. √(5x-2) < 4
23. √(4x-3) ≤ 7

24. x²+5x-6 < 0
25. x²-8x+15 ≤ 0
26. -x²+5x-4 > 0
27. 3x/9 — 6 ≥0
28. (x-2)/(x-4) ≤ 0
29. (x-3)/(x-9) ≤0
30. (x-2)/(x-4) ≥0

Պատասխան՝

1) x > -2
2) x > 2
3) x > 12
4) (-6; 4) ∪ (9; +∞)
5) [-6; 4] ∪ [9; +∞)

6) x = 2
7) x = 3
8) x = 2
9) x = 1
10) x = 5

11) x = 2, x = -3
12) 2
13) 5
14) x = ±1, ±3

15) x = 4, x = 0
16) x = 3, x = 0
17) x < 5/3 կամ x > 3

18) 2/3 ≤ x ≤ 6
19) 2/3 ≤ x < 6
20) 1 ≤ x ≤ 10
21) x ≥ 10
22) 2/5 ≤ x < 18/5
23) 3/4 ≤ x ≤ 13

24) (-6; 1)
25) [3; 5]
26) (1; 4)
27) x ≥ 18
28) [2; 4)
29) [3; 9)
30) (-∞; 2] ∪ (4; +∞)

1)Լուծել հավասարումները․

|x| = 3

x=∓3

|x| = 9

x=∓9
|x| = 0

x=0
|x| = -5-լուծում չունի

|x| = 18

x=∓18
|x| — 2 = 5

x=∓7
|x| — 5 = — 3

x=∓2
|x| + 6 = 3

x=/’

|x| — 3 = 3
|x| + 10 = 5
|x + 6| = 0
|x — 5| = 2
|x + 9| = 7

|4x — 8| = — 6
|5x — 5| = 0
|x — 5| + 3 = — 4
|x + 8| + 3 = 1
|2x — 6| — 5 = 3

2)Լուծել հավասարումները․

√(x) = 2
√(x) = 5
√(x) = 0
√(x) — 2 = 6
√(x) — 4 = 1
√(x) + 4 = 2
√(x — 2) = 2
√(x + 3) = 3
√(x — 8) = — 3
√(2x — 5) = 2
√(4x — 4) = 0
√(3x — 1) = 3
√(2x — 4) = √(x + 2)
√(5x + 3) =√(3x — 4)
√(2x + 6) = √(x + 2)
√(6x — 6) = √(4x — 8)
√(4 — x) = √(1 — 2x)
√(5x — 5) = √(3x + 6)

3)Լուծել հավասարումները․

x — √(x) — 6 = 0
2x — 3√(x) — 2 = 0
x — 4√(x) — 5 = 0
x — 3√(x) + 2 = 0
x — √(x) — 12 = 0
x — 7√(x) + 10 = 0

1)72 էջը մուտքագրելու համար աշխատակիցներից առաջինը ծախսում է 8 ժ, իսկ երկրորը՝ 9ժ:

ա) Քանի՞ էջ կարող են նրանք միասին մուտքագրել 3 ժամում:

72:8=9

72:9=8

8+9=17

մեկ ժամ=17

17*3=51

երեք ժամ=51 էջ

Պատ․51 էջ
բ) Համատեղ աշխատելով նրանք քանի՞ ժամում կմուտքագրեն 340 էջ:

340:17=20

Պատ․20 ժամ

2)90 էջը մուտքագրելու համար աշխատակիցներից առաջինը ծախսում է 9 ժ, իսկ երկրորդը՝ 10 ժ:

ա) Քանի՞ էջ կարող են նրանք միասին մուտքագրել 4 ժամում:

90:9=10

90:10=9

մեկ ժամում=19

19*4=76

Պատ․76 էջ
բ) Համատեղ աշխատելով՝ նրանք քանի՞ ժամում կմուտքագրեն 190 էջ:

190:19=10

Պատ․10 ժամ

3)Առաջին տակառում կա 100 լ հեղուկ, իսկ երկրորդում՝ 75 լ: Առաջին տակառից օրական դատարկվում է 2 լ հեղուկ, իսկ երկրորդից 1,5 լ:

ա) Քանի՞ օր հետո կդատարկվի առաջին տակառը:

100:2=50

Պատ․50 օր
բ) Քանի՞ օր հետո տակառների հեղուկները կհավասարվեն:

100-75=25

2-1,5=0,5

25:0,5=50

Պատ․50օր

4)Առաջին տակառում կա 120 լ հեղուկ, իսկ երկրորդում՝ 100 լ: Առաջին տակառից՝ օրական դատարկվում է 3 լ հեղուկ, իսկ երկրորդից 2 լ:
ա) Քանի՞ օր հետո կդատարկվի երկրորդ տակառը:

120:3=40

Պատ․40օր

բ) Քանի՞ օր հետո տակառների հեղուկները կհավասարվեն:

120-100=20

3-2=1

20:1=20

Պատ․20օր

5)Մի քանի գրքերի համար վճարել են 600 դրամ: Գրքերից մեկի արժեքը վճարված գումարի 30 %-ն է, իսկ մյուսինը` 40 %–ը:
ա) Առաջին գիրքը քանի՞ դրամով է էժան երկրորդից:
բ) Որքա՞ն դրամ են վճարել մնացած գրքերի համար:

6)Մի քանի գրքերի համար վճարել են 900 դրամ: Գրքերից մեկի արժեքը վճարված գումարի 20 %-ն է, իսկ մյուսինը` 30 %-ը:
ա) Առաջին գիրքը քանի՞ դրամով է էժան երկրորդից:
բ) Որքա՞ն դրամ են վճարել մնացած գրքերի համար:

7)Երկու օրում շտեմարան բերին 300 տ հացահատիկ, ընդ որում՝ երկրորդ օրը բերեցին առաջին օրը բերածի 20 %-ը:
ա) Քանի՞ տոննա հացահատիկ բերեցին շտեմարան առաջին օրը:
բ) Երկրորդ օրը բերված հացահատիկը առաջին օրվա հացահատիկի ո՞ր մասն է կազմում:

8)Երկու օրում շտեմարան բերին 400 տ հացահատիկ, ընդ որում՝ երկրորդ օրը բերեցին առաջին օրը բերածի 30 %-ը:
ա) Քանի՞ տոննա հացահատիկ բերեցին շտեմարան առաջին օրը:
բ) Երկրորդ օրը բերված հացահատիկը առաջին օրվա հացահատիկի ո՞ր մասն է կազմում:

Վերջին գրաֆիկը, որն ուսումնասիրելու ենք y = 1/x ֆունկցիայի գրաֆիկն է, որն անվանում են հիպերբոլ:

Գրաֆիկը բաղկացած է երկու մասից, որոնց կանվանենք հիպերբոլի ճյուղեր: Կոորդինատների սկզբնակետը հիպերբոլի գագաթն է, չնայած այն չի պատկանում գրաֆիկին: Նշենք հիպերբոլի գրաֆիկի որոշ առանձնահատկություններ և բացատրենք դրանք։

1)Հիպերբոլի որոշման տիրույթն է (−∞, 0)U(0, +∞): Իսկապես, 1/x արտահայտությունն իմաստ ունի բոլոր x-երի դեպքում բացառությամբ x = 0-ի:
2)Ֆունկցիայի գրաֆիկը գտնվում է առաջին և երրորդ քառորդներում: Երբ x > 0, ապա y = 1/x > 0: Դրական x և y կոորդինատներով կետերը գտնվում են կոորդինատային հարթության առաջին քառորդում: x < 0 դեպքում y = 1/x < 0 ։Բացասական x և y կոորդինատներով կետերը գտնվում են կոորդինատային հարթության երրորդ քառորդում:
3)(0, +∞) միջակայքում ֆունկցիան նվազող է:
4)(−∞, 0) միջակայքում ֆունկցիան նվազող է։

f(x) = 1/x ֆունկցիան x₀ — ով աջ տեղաշարժած, a անգամ y-ների առանցքի երկայնքով ձգած և y₀ — ով վերև տեղաշարժած ֆունկցիայի բանաձևն է՝ y = af(x — x₀) + y₀ = a/(x — x₀) + y₀ ։

Նկարում պատկերված են y = 3/(x — 2) + 4 և y = — 6/x + 2 ֆունկցիաների գրաֆիկները։

Առաջադրանքներ․

1)Տրված է f(x) = 4/x ֆունկցիան: Գտե՛ք ֆունկցիայի արժեքը ա) 1, բ) –2, գ) 10 կետում:

f(x) =4, f(x) =-2, f(x) =2/5

2)Տրված է f(x) = 1/(x — 5) ֆունկցիան: Գտե՛ք ֆունկցիայի արժեքը ա) 4, բ) 8, գ) -5 կետում:

f(x) = 1/(4 — 5)=-1

f(x) = 1/(8— 5)=3

f(x) = 1/(-5— 5)=-10

3)Տրված է f(x)= 1/(4x + 2) ֆունկցիան: Գտե՛ք ֆունկցիայի որոշման տիրույթը։ Ո՞ր կետերում է ֆունկցիան ընդունում ա

f(x)= 1/(4x + 2)=

4)Տրված է f(x) = — 2/(3x + 1) ֆունկցիան: Գտե՛ք ֆունկցիայի որոշման տիրույթը։ Ո՞ր կետերում է ֆունկցիան ընդունում ա) -2, բ) -1/3 գ) 0.2 արժեքը:

5)Տրված է f(x) = 4/(x — 2) — 3 ֆունկցիան: Գրե՛ք ա) f(x + 2) բ) f(x — 4) + 1 գ) f(x + 1) — 5 ֆունկցիայի բանաձևը։

6)Տրված է f(x) = 1/(x — 10) + 6 ֆունկցիան: Գրե՛ք ա) 2f(x), բ) 3f(x) + 15 գ)- 5f(x) + 13 ֆունկցիայի բանաձևը:

Մեկ անհայտով հավասարման լուծումը․

1) Եթե կան փակագծեր, ապա պարզեցնում ենք հավասարումը՝ բացելով փակագծերը:

2) Հավասարման անհայտը պարունակող անդամները տեղափոխում ենք ձախ մաս, իսկ մնացած անդամները՝ աջ մաս:

3) Հավասարման աջ և ձախ մասերում կատարում ենք թվաբանական գործողություններ և լուծում ստացված պարզագույն հավասարումը:

ax² + bx + c = 0տեսքի հավասարումը, որտեղ a -ն, b -ն և c -ն իրական թվեր են, և a≠0, կոչվում է քառակուսային հավասարում:

Քառակուսային հավասարման արմատները հաշվում են հետևյալ բանաձևերով՝

x₁ = −b + √D/2a,  x₂ = −b — √D/2a, որտեղ D = b² − 4ac

D -ն անվանում են քառակուսային հավասարման տարբերիչ կամ դիսկրիմինանտ: 

Առաջադրանքներ․

1)Լուծել հավասարումները․

4(x — 6) = 10
5(x + 3) = -25
4(x — 5) = 2(x + 2)
8(x + 1) = 6(x — 5)
4(x — 8) + 8 = 2(x — 2)
4(x + 5) = 2 — 2(x — 2)
5(x — 8) — 1 = 5(x + 3) + 8
4(x + 6) + 2(x — 7) = — 8

2)Լուծել հավասարումները․

x/2 + x/3 = 5
x/3 + x/4 = 7
x/4 + x/5 = 9
x/5 + x/6 = 11
(2x — 6)/3 = 4
(3x + 4)/5 = 2
(x + 2)/3 = (x — 4)/2
(2x — 1)/3 = (3x — 2)/4
(x — 1)/2 + (x — 2)/3 = 2
(2x — 3)/2 + (3x — 1)/3 = -2

3)Լուծել հավասարումները․

x² — 4x — 5 = 0
x² + 6x + 5 = 0
2x² — x — 1 = 0
2x² — 3x — 2 = 0
x² — 7x + 10 = 0